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| 作者：不明 来源：www.pccode.net 整理 发布时间：2007-1-22 14:42:21 发布人：wongrs | |||
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1. 什么是数学方法 ? 中学数学有哪些常用的基本数学方法 ? 答：所谓方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式．人们通过长期的实践，发现了许多运用数学 思想 的手段、门路或程序．同一手段、门路或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，就成为数学方法．数学方法是以数学的工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，以形成解释、判断和预言的方法． 数学方法具有以下三个基本特征：一是高度的抽象性和概括性，二是逻辑的严密性及结论的确定性，三是应用的普遍性和可操作性． 数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：一是提供简洁确定的形式化语言，二是提供数量分析及计算的方法，三是提供逻辑推理的工具．现代科学技术特别是电子计算机的发展，与数学方法的地位和作用的强化正好是相辅相成． 在中学数学中经常用到的基本数学方法，大致可以分为以下三类： （ 1 ）逻辑学中的方法．例如分析法（包括逆证法）、综合法、反证法、归纳法、穷举法（要求分类讨论）等．这些方法既要遵重逻辑学中的基本规律和法则，又因为运用于数学之中而具有数学的特色． （ 2 ）数学中的一般方法．例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法（也称坐标法，在代数中常称图象法，在学生今后要学习的解析几何中常称坐标法）、比较法（数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同）等．这些方法极为重要，应用也很广泛． （ 3 ）数学中的特殊方法．例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法（也称之为中间变量法）、拆项补项法（含有添加辅助元素实现化归的数学 思想 ）、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等．这些方法在解决某些数学问题时也起着重要作用，对于某一类问题也都是一种通法． 2. 解不等式时，常用的等价转化有哪些情况 ? 答：设ｙ 1 和ｙ 2 都是ｘ的函数，那么下列各不等式等价： （ 1 ） │ ｙ 1 │≤ ｙ 2 （ｙ 2 ≥0 ） －ｙ 2 ≤ ｙ 1 ≤ ｙ 2 ， │ ｙ 1 │ ＞ｙ 2 （ｙ 2 ≥0 ） ｙ 1 ＜－ｙ 2 或ｙ 1 ＞ｙ 2 ； （ 2 ） │ ｙ 1 │≤ ｃ（ｃ ≥0 ） ｙ 1 2 ≤ ｃ 2 ， │ ｙ 1 │ ＞ｃ（ｃ ≥0 ） ｙ 1 2 ＞ｃ 2 ； （ 3 ） ｙ 1 · ｙ 2 ≥0 ｙ 1 ≥0 且ｙ 2 ≥0 ，或ｙ 1 ≤0 且ｙ 2 ≤0 ， ｙ 1 · ｙ 2 ＜ 0 ｙ 1 ＞ 0 且ｙ 2 ＜ 0 ，或ｙ 1 ＜ 0 且ｙ 2 ＞ 0 ； （ 4 ） ｙ 1 ／ｙ 2 ＞ 0 （ｙ 2 ≠0 ） ｙ 1 · ｙ 2 ＞ 0 ， ｙ 1 ／ｙ 2 ＜ 0 （ｙ 2 ≠0 ） ｙ 1 · ｙ 2 ＜ 0 ． 3 ．怎样正确理解逻辑联结词 “ 或 ” 的意义？ 答： “ 或 ” 这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是 “ 不可兼有 ” ，即 “ ａ或ｂ ” 是指ａ，ｂ中的某一个，但不是两者．日常生活中有时采用这一解释．例如 “ 你去或我去 ” ，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能．另一是 “ 可兼有 ” ，即 “ ａ或ｂ ” 是指ａ，ｂ中的任何一个或两者．例如 “ ｘ ∈ Ａ或ｘ ∈ Ｂ ” ，是指ｘ可能属于Ａ但不属于Ｂ（ “ 但 ” 在这里实际上等价于另一逻辑联结词 “ 且 ” ），ｘ也可能不属于Ａ但属于Ｂ，ｘ还可能既属于Ａ又属于Ｂ（即ｘ ∈ Ａ ∩ Ｂ）．又如在 “ ｐ真或ｑ真 ” 中，可能只有ｐ真，也可能只有ｑ真，还可能ｐ，ｑ都为真．数学书籍中一般采用后一种解释，运用数学语言和解数学选择题时，都要遵守这一点，还要注意 “ 可兼有 ” 并不意味 “ 一定兼有 ” ． 4 ． “ ｐ或ｑ ”“ ｐ且ｑ ”“ 非ｐ ” 这三个复合命题概念后，怎样进行真假概括？ 答：（ 1 ）对于复合命题 “ ｐ或ｑ ” ，当且仅当ｐ，ｑ中至少有一个为真（包括两个同时为真）时，它是真命题；当且仅当ｐ，ｑ都为假时，它是假命题 （ 2 ）对于复合命题 “ ｐ且ｑ ” ，当且仅当ｐ，ｑ都为真时，它是真命题；当且仅当ｐ，ｑ中至少有一个为假（包括两个同时为假）时，它是假命题． （ 3 ）对于复合命题 “ 非ｐ ” ，当且仅当ｐ为真时，它是假命题；当且仅当ｐ为假时，它是真命题． 以上也可以利用真值表示进行概括． 可以看出，要使学生正确理解上述概念，还要让他们熟练掌握并会灵活运用 “ 至少 ”“ 最多 ”“ 同时 ” ，以及 “ 至少有一个是（不是） ”“ 最多有一个是（不是） ”“ 都是（不是） ”“ 不都是 ” 这些词语．这也是学习数学的难点之一，需要长期不懈地进行训练，才能达到要求． 5 ．怎样理解四种命题？怎样利用反证法来理解四种命题的关系？ 答：学生在初中未学过否命题和逆否命题．可以举例来说． 命题甲：如果 ∠1 、 ∠2 是对顶角，那么 ∠1 ＝ ∠2 ． 命题乙：如果 ∠1 ＝ ∠2 ，那么 ∠1 、 ∠2 是对顶角． 命题丙：如果 ∠1 、 ∠2 不是对顶角，那么 ∠1≠∠2 ． 命题丁：如果 ∠1≠∠2 ，那么 ∠1 、 ∠2 不是对顶角． 这里命题甲、乙互为逆命题；命题丙是把命题甲的条件、结论都加以否定后得到的，所以我们把命题丙叫做命题甲的否命题（注意让学生把 “ 否命题 ” 一词与刚学过的逻辑联结词 “ 非 ” 的使用区别开来， “ 非 ” 通常只否定结论），并且命题甲、丙互为否命题；命题丁是把命题乙的条件、结论都加以否定后得到的，所以命题乙、丁互为否命题，我们把命题丁叫做命题甲的逆否命题．学生经过仔细分析，可以看出：命题丁也可以通过把命题丙的条件、结论颠倒过来而得到，所以命题丙、丁互为逆命题，我们也可以把命题丁叫做命题甲的否逆命题．命题甲的逆否命题和否逆命题相同，我们一般只用 “ 逆否命题 ” 一词． 利用反证法，很容易证明：在四种命题中，原命题与逆否命题同时成立或同时不成立，逆命题与否命题同时成立或同时不成立（可以让学生就上面的例子试一试）． 以上就是所谓 “ 四种命题的关系 ” ． 6 ．怎样用推出符号对 “ 充分且不必要条件 ”“ 必要且不充分条件 ” 和 “ 充要条件 ” 进行概括？ 答：（ 1 ）若ｐ ｑ，且 ｐ，则ｐ是ｑ的充分且不必要条件，ｑ是ｐ的必要且不充分条件； （ 2 ）若ｑ ｐ，且ｐ ｑ，则ｐ是ｑ的必要且不充分条件，ｑ是ｐ的充分且不必要条件； （ 3 ）若ｐ ｑ，且ｑ ｐ，则ｐ是ｑ的充要条件（此时ｑ也是ｐ的充要条件）； （ 4 ）若ｐ ｑ，且 ┐ ｐ ｑ ┐ ，则ｐ是ｑ的充要条件（此时ｑ也是ｐ的充要条件）． 7 ．怎样让正确判断 “ 充分且不必要条件 ”“ 必要且不充分条件 ”“ 充要条件 ” 以及 “ 不充分且不必要条件 ” ？ 答：这四种情况反映了条件ｐ和结论ｑ之间的因果关系，所以在判断时应该让学生： （ 1 ）确定条件是什么，结论是什么； （ 2 ）尝试从条件推导结论，从结论推导条件； （ 3 ）确定条件是结论的什么条件． 要证明命题的条件是充要的，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题成立即证明条件的充分性，证明逆命题成立即证明条件的必要性． 8 ．如何利用已知函数的单调性来判定较复杂函数的单调性？ 答：如果函数ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）在区间Ｂ上具有单调性，那么在Ｂ上： （ 1 ）ｆ（ｘ）与ｆ（ｘ）＋ｃ（ｃ为常数）具有相反的单调性． （ 2 ）ｆ（ｘ）与ｃ · ｆ（ｘ）当ｃ＞ 0 时具有相同的单调性，当ｃ＜ 0 时具有相反的单调性． （ 3 ）当ｆ（ｘ）恒不为 0 时，ｆ（ｘ）与 1 ／ｆ（ｘ）具有相反的单调性． （ 4 ）当ｆ（ｘ）恒为非负时，ｆ（ｘ）与ｆ（ｘ）具有相反的单调性． （ 5 ）当ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是增（减）函数时，ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）也是增（减）函数． （ 6 ）设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是增（减）函数，则ｆ（ｘ） · ｇ（ｘ）当ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）两者都恒大于 0 时也是增（减）函数，当两者都恒小于 0 时是减（增）函数． 9 ．什么叫做函数的奇偶性？ 答：一般地，设有函数ｆ（ｘ），对于其定义域内的任意一个ｘ值，如果都有ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ），那么称ｆ（ｘ）是奇函数；如果都有ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），那么称ｆ（ｘ）是偶函数． 如果函数ｆ（ｘ）是奇函数或偶函数，那么称ｆ（ｘ）具有奇偶性． 函数的奇偶性也是函数的整体性质之一．这里指出以下几点． （ 1 ）函数的奇偶性是针对函数的定义域讲的．由于任意的ｘ与－ｘ都要在定义域内，所以奇（偶）函数的定义域关于原点对称．我们在判定函数是否具有奇偶性时，应先确定其定义域关于原点是否对称．不对称就没有奇偶性（定义域对称，才能使函数图象关于原点或ｙ轴对称）． （ 2 ）既是奇函数又是偶函数的函数，一定有解析式ｙ＝ｆ（ｘ）＝ 0 ，但它的定义域可以各色各样（必须关于原点对称），所以不是惟一的．解析式不为ｆ（ｘ）＝ 0 的函数，不可能既是奇函数又是偶函数． （ 3 ）奇（偶）函数还具有以下性质： —— 两个奇（偶）函数的和（差）也是奇（偶）函数． —— 两个函数的积（商，分母恒不为 0 ），当其奇偶性相同时为偶函数，当其奇偶性相反时为奇函数． —— 奇（偶）函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同（反）． —— 偶函数一般不存在反函数；如果一个奇函数有反函数，那么其反函数也是奇函数． （ 4 ）构造奇（偶）函数的简单方法：设ｆ（ｘ）是定义域关于原点对称的函数，则 Ｆ 1 （ｘ）＝（ 1 ／ 2 ）（ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）） 是偶函数，而 Ｆ 2 （ｘ）＝（ 1 ／ 2 ）（ｆ（ｘ）－ｆ（－ｘ）） 是奇函数．显然，Ｆ 1 （ｘ）＋Ｆ 2 （ｘ）＝ｆ（ｘ），所以这样的ｆ（ｘ）总可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和． 10. 函数的一些重要性质 , 如何区别 ? ①如果函数 对于一切 ，都有 ，那么函数 的图象关于直线 对称 . ②函数 与函数 的图象关于直线 对称； 函数 与函数 的图象关于直线 对称； 函数 与函数 的图象关于坐标原点对称 . ③函数 与函数 的图象关于直线 对称 . ④若奇函数 在区间 上是递增函数，则 在区间 上也是递增函数． ⑤若偶函数 在区间 上是递增函数，则 在区间 上是递减函数． ⑥函数 的图象是把函数 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位得到的； 函数 ( 的图象是把函数 的图象沿 x 轴向右平移 个单位得到的； 函数 +a 的图象是把函数 助图象沿 y 轴向上平移 a 个单位得到的 ; 函数 +a 的图象是把函数 助图象沿 y 轴向下平移 个单位得到的 . ⑦函数 的图象是把函数 的图象沿 x 轴伸缩为原来的 得到的； 函数 的图象是把函数 的图象沿 y 轴伸缩为原来的 a 倍得到的 . 11 ．求一个数列的通项公式时，有哪些基本方法？ 答：有以下四种基本方法： （ 1 ）直接法．就是由已知数列的项直接写出，或通过对已知数列的项进行代数运算写出． （ 2 ）观察分析法．根据数列构成的规律，观察数列的各项与它所对应的项数之间的内在联系，经过适当变形，进而写出第ｎ项ａ ｎ 的表达式即通项公式． （ 3 ）待定系数法．求通项公式的问题，就是当ｎ＝ 1 ， 2 ， … 时求ｆ（ｎ），使ｆ（ｎ）依次等于ａ 1 ，ａ 2 ， … 的问题．因此我们可以先设出第ｎ项ａ ｎ 关于变数ｎ的表达式，再分别令ｎ＝ 1 ， 2 ， … ，并取ａ ｎ 分别等于ａ 1 ，ａ 2 ， … ，然后通过解方程组确定待定系数的值，从而得出符合条件的通项公式． （ 4 ）递推归纳法．根据已知数列的初始条件及递推公式，归纳出通项公式． 12 ．等差数列有哪些基本性质？ 答：（ 1 ）当ｄ＞ 0 时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当ｄ＜ 0 时，等差数列中的数随项数的减小而减小；当ｄ＝ 0 时，等差数列中的数等于一个常数．注意：不能说等差数列或它的通项公式是一次函数，等差数列只是某个一次函数的一系列孤立的函数值；一次函数是有严格定义的，它的定义域是实数集Ｒ，图象是（连续的）一条直线．这是目前教学中普遍出错的地方 ! （ 2 ）在有穷的等差数列中，与首末两项等距离的两项的和都相等，且等于首末两项的和． （ 3 ）如果ｍ＋ｎ＝ｐ＋ｑ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ都是正整数，那么ａ ｍ ＋ａ ｎ ＝ａ ｐ ＋ａ ｑ ）。 （ 4 ）如果等差数列的各项都加上一个相同的数，那么所得的数列仍是等差数列，且公差不变． （ 5 ）两个等差数列各对应项的和组成的数列仍是等差数列，且公差等于这两个数列的公差的和． 13 ．等比数列有哪些基本性质？ 答：（ 1 ）当ｑ＞ 1 时，如果存在一项ａ＞ 0 （或＜ 0 ），那么等比数列中的数随项数的增大而增大（或减小）；当 0 ＜ｑ＜ 1 时，如果存在一项ａ＞ 0 （或＜ 0 ），那么等比数列中的数随项数的增大而减小（或增大）；当ｑ＝ 1 时，等比数列中的数等于同一个常数；当ｑ＜ 0 时，等比数列中的数不具有单调性． （ 2 ）在有穷的等比数列中，与首末两项等距离的两项的积都相等，且等于首末两项的积． （ 3 ）如果ｍ＋ｎ＝ｐ＋ｑ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ都是正整数），那么ａ ｍ · ａ ｎ ＝ａ ｐ · ａ ｑ ． （ 4 ）如果数列｛ａ ｎ ｝是等比数列，那么它所有的项都不等于 0 ，且所有的ａ ｎ · ａ n ＋ 2 ＞ 0 ． （ 5 ）如果数列｛ａ ｎ ｝是等比数列，那么数列｛ｃａ ｎ ｝（ｃ为常数），｛ａ ｎ － 1 ｝，｛｜ａ ｎ ｜｝也都是等比数列，且其中｛ｃａ ｎ ｝的公比不变，｛ａ ｎ － 1 ｝的公比等于原公比的倒数，｛｜ａ ｎ ｜｝的公比等于原公比的绝对值． （ 6 ）两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积． 14 ．为什么当 λ ， μ 为实数时，有 λ （ μ ａ）＝ μ （ λ ａ）＝（ λμ ）ａ？ 答：这是因为由实数与向量的积的定义可知，向量 λ （ μ ａ）， μ （ λ ａ），（ λμ ）ａ是互相平行的向量，它们的方向也相同，且 |λ （ μ ａ） | ＝ |μ （ λ ａ） | ＝ | （ λμ ）ａ | ＝ |λμ|·| ａ | ， 所以 λ （ μ ａ）＝ μ （ λ ａ）＝（ λμ ）ａ（＝（ μλ ）ａ）． 这个运算律叫做向量数乘的结合律．
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